Calcul numérique : Monnaies

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Compte-rendu d'expérimentation 8 - Monnaies

Synthèse des notions mathématiques abordées

Importance du nombre 1
Lors de la première séance les avis concernant la possibilité de réussir à obtenir la valeur 1, étaient divers, certains pensaient que l'on ne pouvait réaliser que des multiples de 9 ou de 11. Au fil des débats l'importance de ce nombre qui parfois ne paraît servir à rien en mathématique est apparue
Un groupe d'élèves de la quatrième 3 de Saint-Gély lors de la séance de réponses aux questions nous dit qu'elle peut faire tous les nombres entiers :

[Pour faire 1 on donne 5 pièces de 9 et on nous rend 4 pièces de 11] .
Pour faire le nombre que l'on veut trouver qu'on appelle n :
On donne 5 pièces de 9 le nombre n et on nous rend 4 pièces de 11xle nombre n
9x5xn - 11x4xn = 45xn - 44xn]

Le choix de 9 et 11
Après la relance, le travail des différentes classes s'est axé sur la possibilité de changer les valeurs 9 et 11. Un travail ambitieux a alors démarré.
La sixième 11 du collège Pierre Moréto envoie ses remarques :

[Suite à vos derniers envois, nous nous sommes penchés sur la question :
9 et 11 ont-ils été pris au hasard ? Nous pensons que non.
Quels sont les couples de nombres pour lesquels le système monétaire serait possible ?
Pour cela il suffit de réussir à obtenir 1.

Ce qui fonctionne :

Tous ceux qui contiennent 1 : 1 et 2, 1 et 3,….

2 impairs avec 2 d'écart : 3 et 5 ; 5 et 7 ;…

1 impair et 1 pair à condition que le pair ne soit pas un multiple de l'impair : 2 et 5 ; 4 et 7 ;

Ce qui ne fonctionne pas :

2 nombres pairs

1 impair et 1 pair avec le pair multiple de l'impair
A étudier : 2 impairs avec un écart différent de 2

La fréquentation de notions étudiées plus tard dans le cursus scolaire
Ces problèmes permettent une première fréquentation de concepts approfondis plus tard dans la scolarité. On peut penser que ces notions paraîtront alors beaucoup moins artificielles.

Rôle du PGCD de deux nombres
La quatrième 3 de Saint Gély propose :

[Si on changeait 9 et 11 par 5 et 10 : On ne peut payer que les multiples de 5, car tous les nombres finiront par 0 ou 5
Si on changeait 9 et 11 par 8 et 12 : On trouve toujours un nombre pair. On trouve que les multiples de 4]

Nombres premiers entre eux, algorithme d'Euclide et égalité de Bezout
Le lien pourra se faire alors entre l'importance du 1 dans ce problème et le 1 trouvé à la fin de l'algorithme d'Euclide lorsque les nombres sont premiers entre eux, ainsi que plus tard avec le 1 de l'égalité de Bezout.
Renforcement de certaines notions déjà rencontrées
La parité :
Les classes ont souvent envisagé de travailler avec des nombres pairs ou impairs. La familiarité avec ces nombres leur a permis de trouver des conjectures assez raisonnables qui ont permis ensuite de généraliser encore plus le problème.

Si on multiplie deux nombres pairs le résultat sera toujours pair

Si on multiplie deux nombres impairs le résultat sera toujours impair

Si on prend deux nombres consécutifs on peut faire 1

Si on prend deux nombres impairs consécutifs on peut faire 1

Les multiples d'un nombre et leur écriture algébrique
Les quatrièmes ayant travaillé sur l'écriture algébrique d'un nombre pair et d'un nombre impair, ont trouvé assez rapidement l'écriture algébrique d'un multiple de 4 ou d'un multiple de 5 et ont pu ainsi valider leurs réponses à la relance.
La distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction
Ils ont réinvesti la factorisation pour prouver certaines de leurs conjectures.
En essayant de démontrer certaines de leurs conjectures, les 4ème3 ont été amenés à calculer
:(2xn) x (2xm) et (2n +1) x (2m +1).
Pour chaque expression plusieurs conjectures ont été proposées, lors d'une séance de débat

certaines conjectures ont été invalidées par des contre-exemples. Enfin la preuve quant au premier résultat a été apportée grâce à la commutativité de la multiplication.