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Ressources pédagogiques > Analyse > Problème babylonien > Compte-rendu d'expérimentation > Compte-rendu d'expérimentation 1
- Compte-rendu d'expérimentation 1 - Babylone
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Appropriation, relance et premiers résultats
Appropriation- Des interrogations pour savoir où se trouve cette région de Mésopotamie, où tous les champs étaient de forme trapèze !! - Est-ce qu'elle existe encore ?
- Beaucoup de questions sur Babylone.
- Des élèves se sont interrogés sur le mot " arpenteur ".
- Puis la classe a voulu parler du fait que les nombres 7 et 17 n'avaient pas d'unités, et là les avis furent partagés.
- Est-ce que le champ du problème a exactement la forme du dessin qui accompagne l'énoncé ? Est-ce que les côtés obliques du champ peuvent être droits, ce serait plus simple ? Des élèves remarquent cependant que si on les met droit tous les deux, alors cela fait un carré et cela ne pourra pas faire 7 et 17 !
- En mesurant sur le dessin, les élèves remarquent que les côtés du dessin n'ont pas les mesures exactes données par l'énoncé.
- Est-ce que c'est important que les deux nombres se terminent par le même chiffre 7 ?
- Beaucoup d'élèves veulent faire des opérations avec les nombres 7 et 17.
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Relance
Voici quelques idées pour vous et vos élèves. Vous n'êtes pas obligés d'en tenir compte, il s'agit seulement de vous proposer des pistes de réflexion pour avancer dans ce problème…
- Il ne paraît pas évident, à première vue, que les données soient suffisantes pour résoudre le problème. En effet, le trapèze n'est pas complètement déterminé. Sa hauteur, les longueurs des côtés non parallèles, sont inconnues.
- Pour se faire une intuition, pourquoi ne pas prendre un trapèze au hasard (avec des bases de longueur 7 et 17 ) et regarder ce qui se passe ? l'expérience, par exemple à l'aide de Cabri, montre qu'en fait la solution ne dépend que de ce qui est connu : la longueur des côtés parallèles. En particulier, elle ne dépend pas de leur position…Comment cela se fait-il ?
- Dans un premier temps, si la résolution du problème paraît trop difficile, il est possible d'essayer de comprendre pourquoi le problème ne demande pas de connaissances supplémentaires sur le trapèze.
- Si on se donne un trapèze de bases 7 et 17, comment peut-on le transformer pour en faire un autre trapèze de mêmes bases ? on peut faire par exemple deux choses : déplacer les bases " horizontalement ", ou bien " verticalement " (je suppose que les bases sont horizontales).
- Tout d'abord, déplaçons " horizontalement " les côtés parallèles d'un trapèze donné. On remarque qu'alors l'aire du trapèze reste la même. D'ailleurs, un élève a donné une formule pour cette aire : c'est
A = (a + b)h/2, où h est la hauteur du trapèze et a, b sont les longueurs des côtés parallèles. Comment retrouver ou démontrer cette formule ?
- Plusieurs méthodes sont possibles. Plusieurs élèves ont eu l'idée d'utiliser Thalès en complétant le trapèze en un triangle comme ci-dessous :
- Pouvez-vous montrer (par Thalès) que le sommet du triangle se déplace lui aussi sur une horizontale ? Pouvez-vous en déduire, toujours par Thalès, que les aires concernées ne sont pas modifiées ?
- Voici une autre méthode, plus élémentaire : en faisant une symétrie centrale du trapèze, on obtient un parallélogramme…dont on sait calculer l’aire.
Dans les deux cas, on retrouve bien la formule donnant l’aire en fonction de la hauteur et des longueurs des côtés parallèles.
- " Ensuite, déplaçons " verticalement " les côtés parallèles, c'est-à-dire changeons la hauteur. Disons que la hauteur H est multipliée par une constante c. Alors remarquez que, dans le dessin ci-dessous, toutes les autres hauteurs sont multipliées par cette même constante.
- Ici, x est une longueur intermédiaire entre 7 et 17, par exemple celle que l'on cherche ! l'important est qu'elle soit la même sur les deux dessins….
La conclusion de tout ceci est : il y a certainement une solution, nous ne savons pas encore comment la trouver, mais nous savons qu'elle ne dépend pas de la forme particulière du trapèze, seulement des longueurs 7 et 17.
