Dans le rapport qu’elle a coordonné, sur le thème du calcul, pour la Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques (Kahane 2003), Michèle Artigue a mis en évidence la culture du calcul dominante de l’école au lycée : le calcul exact est privilégié, le calcul approché apparaît secondaire et on ne donne pas aux élèves les moyens de mener et contrôler des calculs approchés, avec ou sans machine ; pourtant le calcul approché est essentiel dans la pratique scientifique, et sa maîtrise, complexe, suppose certainement un enseignement spécifique. La conduite d’un calcul avec des résultats approchés expose en effet aux propagations d’erreurs d’arrondis et il faut rappeler que l’addition n’est ni commutative ni associative sur l’ensemble des nombres représentés par troncature (Faure & al 1993, p. 18).

Dans un environnement en représentation décimale tronquée, les élèves construisent alors une image très pragmatique (une conception, au sens didactique) pour la distinction résultat exact/résultat approché : « un développement décimal raisonnablement court est un résultat exact, alors qu’un développement décimal qui occupe toute la ligne d’écran sera un résultat approché »… Que les propriétés caractéristiques de la représentation décimale illimitée des réels soient ignorées ne condamne pas ce pragmatisme (qui n’est donc pas sans fondement). Le plus grave, c’est que, en général, les élèves ignorent que le nombre de décimales affichées peut être ajusté (voire ajusté à zéro décimale).

Les programmes du collège et du lycée insistent sur la notion d’ordre de grandeur d’un résultat. C’est, bien sûr, un concept-clé dans un environnement en représentation décimale tronquée. Celui-ci gagnerait à être complété par des manipulations sur l’affichage puis, quand la notation scientifique est raisonnablement maîtrisée, par quelques exercices qui mettent en évidence la représentation décimale tronquée.

Même sur des systèmes de calcul formel évolués, on n’est pas à l’abri de surprises. Ainsi Maple (Figure 3) met bien sous forme fractionnaire 0,333, mais, à partir d’un certain nombre de décimales, prend « l’initiative » d’un arrondi à 1/3. Figure 3. Reconnaissance abusive de 1/3 par Maple

En savoir plus sur la représentation par troncature des nombres (annexe 1)

La représentation symbolique des nombres (et des expressions algébriques), combinée avec des procédures d'affichages, permet de manipuler des objets fortement ressemblants au concept savant. Elbaz-Vincent (in Guin et Trouche 2002) met en évidence des problèmes théoriques et pratiques que la transposition informatique peut alors poser.

Manipulant des expressions littérales et des valeurs exactes (comme ), les élèves ont alors souvent la conviction qu’ils manipulent la représentation d’un nombre. Cependant, hors certains ensembles de nombres ou certaines classes d’expressions algébriques, ceux-ci n’ont pas de représentation canonique. Aussi la calculatrice délivre un résultat sous un format qui échappe au contrôle de l’élève : « Est-ce que le que j’obtiens est égal au que j’attendais ? »

Il faut rappeler que, sauf bogues rédhibitoires et aujourd’hui très rares, si la calculatrice déclare que les représentations symboliques de A et B sont égales, alors A= B. Par contre, si la calculatrice déclare que les représentations symboliques de A et B ne sont pas égales alors, on ne peut pas conclure.

En savoir plus sur la représentation symbolique des nombres (annexe 2)

La représentation symbolique et la représentation décimale tronquée des nombres coexistent dans tous les systèmes de calcul formel et il n’y a pas équivalence entre égalité de deux nombres et égalité de leurs représentations, qu’elles soient symboliques ou décimales tronquées. L’utilisation de calculatrices sera particulièrement propice à la réflexion critique où le résultat obtenu par une représentation viendra corroborer le résultat obtenu par une autre. Par ailleurs, les incertitudes issues du calcul approché donnent sens aux problématiques de « simplification » d’une écriture symbolique.

En savoir plus sur l’articulation calcul exact/calcul approché (annexe 3)

• commencer une session de travail, savoir mettre en route une calculatrice (fiche 1)

• interpréter quelques messages « fondamentaux » (faux, erreur, on défini, etc…), cela suppose savoir recourir au mode d’emploi et aux listes d’erreur qui s’y trouvent, ainsi qu’à sa propre mémoire de travail qu’il est bon d’organiser (par exemple un mémento calculatrices) et aux mathématiques en jeu.