Comment compter les différentes manières possibles de carreler la forme rectangulaire ? Dans les problèmes de ce type, la question se pose toujours de savoir si on a le droit de tourner ou de retourner la figure, par exemple :

Ces figures représentent-elles des manières différentes de carreler le même rectangle ? Il faut prendre une décision, si nous voulons tous réfléchir à la même chose... Nous décidons que oui. Par exemple : imaginez que cette zone rectangulaire est une partie d'un mur ; vous voulez la carreler, mais vous ne pouvez évidemment pas la tourner. Pour un tel rectangle, on a ainsi 3 manières différentes de carreler, la troisième étant :

• Le problème des unités. L'énoncé restait vague sur l'unité : s'agit-il du centimètre, du décimètre, du mètre, d'autre chose encore ? Mais vous avez souvent constaté ou imaginé que la réponse n'en dépend pas. Carreler un gros rectangle avec des gros carreaux revient à carreler un petit rectangle avec de petits carreaux !

• Pair / impair. Vous avez presque tous reconnu que le problème ne peut avoir de solution que si l'une au moins des dimensions du rectangle est paire.

• Nombre de carreaux. Vous êtes nombreux à avoir eu l'idée que le nombre de carreaux devait être la moitié de l'aire du rectangle (voir point précédent).

• Stratégie pour compter les différents carrelages. Dès qu'on passe à des dimensions plus compliquées que le rectangle 2x3 ci-dessus, vous constatez qu'il y a beaucoup de possibilités. Comment les compter toutes, comment être sûr de ne pas en avoir oublié ? Quelle(s) stratégie(s) adopter ?