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Compte-rendu d'expérimentation 6 - Carrelage
Compte-rendu d'expérimentation 6

Démonstration algébrique sur la parité d'un produit
A la suite de l'envoi d'une classe du collège d'Anduze, on voit dans la réponse du collège de St Gély l'utilisation de l'outil algébrique pour démontrer un résultat
Premier envoi de la 4B du collège Florian d'Anduze Date: 28-01-03
Voilà ce qu'on vient de trouver au 1er contact :
  • 1x1 c'est impossible
  • 3x3 et 3x5 c'est impossible parce que les surfaces sont impaires alors que celle d'un carreau est paire et ce sera pareil pour toutes les surfaces impaires.
  • 2x2 donne 2 façons
  • 2x3 donne 3 façons
  • 2x4 en donnerait 5 (à vérifier)
  • 3x4 en donnerait 11 (à vérifier)
  • 4x4 en donnerait 30 (à vérifier)
    Deux questions semblent émerger :
  • Quelles formes sont impossibles à carreler à part les impaires ?
  • De combien de façons peut-on carreler une certaine surface.
    La plupart ont compris qu'il fallait d'abord s'exercer sur de petites surfaces avant d'en imaginer de grandes.
Réponse de la troisième du collège du Pic St Loup à St Gély Date: 06-02-03
bonjour,
Nous avons travaillé sur vos conjectures aujourd'hui.
Mathilde nous a prouvé avec l'algèbre plusieurs propriétés.
Elle a appelé 2u un nombre pair et 2v un autre nombre pair.
2u x 2v = 2(u x 2 x v) donc ce résultat se divise par 2 donc pair x pair = pair
On a appelé u et v deux pairs, (u + 1) et (v + 1) sont impairs
or (u + 1) x (v + 1) = uv + u + v + 1
uv est pair, u pair, v pair donc uv + u + v + 1 est impair
  • Mathide a aussi prouvé que la somme de deux pairs est paire:
    2y + 2z = 2( y + z)
    Donc impair x impair = impair
    or (u + 1) x v = uv + v
    donc pair x impair = pair
    On a vérifié vos conjectures concernant les différentes possibilités jusqu'à 3x4 et nous sommes d'accord avec vous.
    Nous n'avons pas encore terminé pour le carré de 4 x 4. Nous essayons de trouver une stratégie pour ne pas en oublier.

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