Fiche professeur 2/2
Eléments de solution
L'énoncé du problème et sa solution sont tirées du livre de G. Polya "
Les mathématiques et le raisonnement plausible".
Une première observation doit être faite : l'énoncé le suggère implicitement, mais rien ne dit a priori que le nombre de régions ne dépend pas du choix de la configuration de 5 plans. Il est important de le noter si l'on veut rédiger une démonstration correcte du résultat ; il est également important d'attirer l'attention des élèves sur ce point à un moment ou à un autre de la recherche, éventuellement à la fin, pour leur faire prendre conscience de la part d'implicite qu'un énoncé véhicule et à l'importance d'une attitude critique de leur part.
Le nombre de régions délimitées par 5 plans en position générale est
26. On peut le démontrer par un argument de récurrence sur le nombre de plans. Cet argument peut être plus facile à comprendre et à visualiser dans le cas des droites du plans.
Le cas des droites dans le plan. L'argument géométrique qui suit prouve que le nombre de régions du plan délimitées par n droites en position générale ne dépend que de n, et pas du choix des droites.
- Cela est vrai pour n=1 droite : il y a toujours 2 régions (qui sont non bornées).
- Supposons que cette affirmation soit vraie pour l'entier n-1, et montrons qu'elle l'est alors pour l'entier n. Considérons n droites
en position générale, et choisissons l'une d'elles, disons
. Les n-1 premières droites sont en position générale, donc le nombre de régions du plan qu'elles délimitent ne dépend que de l'entier n-1. Appelons provisoirement k ce nombre, et
les régions délimitées. La n-ième droite
traverse un certain nombre de ces régions, que chacune elle découpe en deux exactement (cette affirmation mérite une démonstration... qui demande plus d'informations sur la notion même de région et ses propriétés). Il ne reste plus qu'à trouver le nombre de régions traversées par
. Pour cela, observons la trace sur
des n-1 premières droites : les droites étant en
position générale, chaque droite
traverse
en un point, et l'on obtient ainsi sur
une famille de n-1 points
distincts, toujours en raison de la position générale, qui découpent
en n régions (deux demi-droites et n-2 segments) ; chacune de ces régions de dimension un sur
est l'endroit où
traverse une des régions de dimension deux
. On en déduit que le nombre de régions délimitées par les n droites
est égal à k+n. Comme k ne dépendait que de n-1, k+n ne dépend bien que de n. CQFD.
- On a donc prouvé par récurrence que le nombre de régions ne dépend que du nombre de droites. Appelons
ce nombre.
- L'argument géométrique précédent prouve de plus que l'on a la relation
. Etant donné que
, on en déduit que
.