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Fiche professeur 2/2 - Roulette hollandaise
Fiche professeur 2/2

Eléments de solution

Pour simplifier on suppose que les tas ne sont pas ordonnés, ce qui permet de représenter une configuration comme une suite décroissante d'entiers.

On a déjà évoqué l'argument de finitude qui permet de prouver que toute configuration est " éventuellement périodique ".
Voici une description systématique du jeu pour les petites valeurs de n, le nombre total de billes :
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
  • On observe pour n=8 l'existence de deux cycles distincts : 422-3311-422 et 332-3221-4211-431-332, ce qui permet de répondre par la négative à la conjecture suivant laquelle il existe un unique cycle pour un nombre de billes donné.
n=8

Voici les résultats concernant les configurations périodiques :
  • Les configurations fixes sont les configurations triangulaires, c'est à dire du type
    k, k-1, k-2,..., 3, 2,1

    Leur nombre total de billes est le nombre triangulaire
    n=1+2+3+...+k


  • Les configurations périodiques de période supérieure à 1 sont également aisées à décrire.
    Il se révèle utile de représenter une configuration en plaçant les tas en colonnes les uns à côté des autres par ordre décroissant (autrement dit on revient à une représentation " imagée " comme ci-dessus). Considérons deux nombres triangulaires successifs, par exemple 6 et 10 ; on peut voir la configuration à 6 billes comme " contenue " dans celle à 10 billes :

  • On affirme que toute configuration périodique ayant un nombre total de billes compris entre 6 et 10 (inclus) s'obtient comme suit : partant du dessin ci-dessus (6 est " contenu " dans 10), on sélectionne certaines colonnes dans lesquelles on ajoute une bille à la configuration à 6 billes. Par exemple, deux possibilités de configurations périodiques à 8 billes sont :

  • Le mouvement est facile à décrire : les billes rajoutées semblent se déplacer de manière cyclique le long de la diagonale :



Mots-clé :
  • en français : roulette hollandaise
  • en anglais : bulgarian solitaire, carolina solitaire
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