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- Fiche professeur 2/2 - Roulette hollandaise
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Eléments de solution
Pour simplifier on suppose que les tas ne sont pas ordonnés, ce qui permet de représenter une configuration comme une suite décroissante d'entiers.
On a déjà évoqué l'argument de finitude qui permet de prouver que toute configuration est " éventuellement périodique ".
Voici une description systématique du jeu pour les petites valeurs de n, le nombre total de billes :
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- On observe pour n=8 l'existence de deux cycles distincts : 422-3311-422 et 332-3221-4211-431-332, ce qui permet de répondre par la négative à la conjecture suivant laquelle il existe un unique cycle pour un nombre de billes donné.
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Voici les résultats concernant les configurations périodiques :-
Les configurations fixes sont les
configurations triangulaires, c'est à dire du type
k, k-1, k-2,..., 3, 2,1
Leur nombre total de billes est le nombre triangulaire
n=1+2+3+...+k
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Les configurations fixes sont les
configurations triangulaires, c'est à dire du type
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Les
configurations périodiques de période supérieure à 1 sont également aisées à décrire.
Il se révèle utile de représenter une configuration en plaçant les tas en colonnes les uns à côté des autres par ordre décroissant (autrement dit on revient à une représentation " imagée " comme ci-dessus). Considérons deux nombres triangulaires successifs, par exemple 6 et 10 ; on peut voir la configuration à 6 billes comme " contenue " dans celle à 10 billes :
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On affirme que toute configuration périodique ayant un nombre total de billes compris entre 6 et 10 (inclus) s'obtient comme suit : partant du dessin ci-dessus (6 est " contenu " dans 10), on sélectionne certaines colonnes dans lesquelles on ajoute une bille à la configuration à 6 billes. Par exemple, deux possibilités de configurations périodiques à 8 billes sont :
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Le mouvement est facile à décrire : les billes rajoutées semblent se déplacer de manière cyclique le long de la diagonale :
Mots-clé :
- en français : roulette hollandaise
- en anglais : bulgarian solitaire, carolina solitaire