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Thèmes Principaux de Recherche

 De manière très générale, je m'intéresse aux actions de groupes algébriques sur des variétés. Ces situations soulèvent tour à tour des questions de géométrie, d'algèbre ou de combinatoire.

 Depuis plusieurs années, je m'intéresse plus particulièrement aux problèmes de restriction en théorie des représentations; et à la géomètrie de certains cônes convexes polyédraux naturellement associés à ce problème. Ces questions mènent à d'autres sur le calcul de Schubert (produit de Belkale-Kumar). Ces sujets trés classiques en théorie des représentations et en géométri algébrique connaissent un essor important depuis une quinzaine d'années avec notamment les travaux de Klyachko, Berenstein-Sjamaar, Knutson-Tao, Knutson-Tao-Woodward, Belkale-Kumar...
 Un exemple important de tels cônes est celui décrit par la conjecture de Horn qui répond à la question suivante : que peut-on dire du spectre de la somme de deux matrices hermitiennes en termes des spectres des facteurs ? Ce dernier problème a fait l'objet de nombreux "surveys" par Fulton, Manivel ou Knutson; d'un article de vulgarisation de Bhatia...

 Signalons, pour terminer cette brève présentation de mon thème actuel de recherche, ses interactions. Ces problèmes sont étudiés par une grande variété de techniques allant de la combinatoire, la géométrie algébrique, la géométrie symplectique à la géométrie des immeubles (voir les travaux de Kapovich-Leeb-Millson)... Ces questions ont des intérêts pour l'analyse numérique matricielle, la physique notamment quantique (voir par exemple cet article de Klyachko), la thèorique de la complexité en informatique (voir le "survey" de Buergisser-Landsberg-Manivel-Weyman).

 CV:  PDF.

Publications

20. A cohomology free description of eigencones in type A, B and C. [ ps  pdf ]
International Mathematics Research Notices (IMRN)(à paraître). 40 pages.

19. A short geometric proof of a conjecture of Fulton. [ ps  pdf ]
Enseign. Math. (2)(à paraître). 13 pages.

18. Two generalisations of the PRV conjecture. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
Compositio ,volume 147, issue 04 (2011), 1321--1336.

17. Hypersurfaces with degenerate duals and the geometric complexity theory program. [pdf]
Avec Joseph Landsberg et Laurent Manivel
Comment. Math. Helv. (à paraître). 11 pages.

16. GIT-cones and quivers. [ ps  pdf]
Math. Zeit. (à paraître ou online). 13 pages.

15. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem II. [ ps  pdf ]
Annales de l'Institut Fourier (à paraître). 26 pages.

14. Branching Schubert Calculus and Belkale-Kumar Product on Cohomology. [ pdf]
Avec Edward Richmond
Proc. AMS, Volume 139 (2011), 835-848.

13. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem. [ ps  pdf ]
Inventiones Mathematicae , Volume 180, Issue 2 (2010), pages 389-441.[journal]

12.  Spherical homogeneous spaces of minimal rank. [ ps  pdf ]
Advances in Mathematics , volume 224, issue 5, 1 August 2010, Pages 1784-1800. [journal]

11. Lattice Polytopes and Root Systems. [ ps  pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard
Bull. London Math Soc., 41(2), pages 227-241, 2009

10. Invariant deformations of orbit closures in sl(n). [ ps  pdf ]
Avec Sebastien Jansou
Representation Theory, 13, pages 50-62, 2009

9. Sur des faces du LR-cône généralisé. [ ps  pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard.
Bull. SMF, 135, pages 343-365, 2007

8. Adjacency of Young tableaux and the Springer fibers. [ ps  pdf ]
Avec N. G. J. Pagnon
Selecta Mathetica, New series, 12, no. 3-4, pages 517-540, 2006

 7. About Knop's action of the Weyl group on the set of orbits of a spherical subgroup in the flag manifold. [ ps pdf ]
Transformation Groups, 10, no. 2, pages 255-265, 2005

6. A quadratic born for the Permanent-Determinant problem. [ ps  pdf ]
Avec T. Mignon
International Mathematics Research Notices (IMRN) 79, pages 4241--4254, 2004

5. Balanced configarations of $2n+1$ plane vectors.  [ ps ]
Journal of Combinatorics Algebra 21, no. 3, pages 281--287, 2005

4. Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux. [pdf ]
Bulletin de la SMF 132, pages 543--567, 2004

3. Quotients of group completions by  spherical subgroups. [ ps ]
J. of Algebra 265, pages 1--44, 2003

2. The GIT-equivalence for G-line bundles. [ ps  pdf ]
Geom. Dedicata 81   no.1-3, 295--324, 2000

1. Appendix : an example of a thick wall. [ ps ]
Pub. Math. IHES 87  pages 53--56, 1998, Appendice à l'article de I. Dolgachev et Y. Hu.

Papiers soumis (voir aussi ArXiv)

2. A generalization of Fulton's conjecture for arbitrary groups. [pdf ]
Avec Prakash Belkale et Shrawan Kumar

 Il s'agit ici de montrer une généralisation d'une conjecture de Fulton (démontrée par Knutson-Tao) sur les coefficients de Littlewood-Richardson. Cette généralisation s'applique à tout groupe et relie certaines constantes de structure du calcul de Schubert à des multiplicités dans la décomposition du produit tensoriel.

1. Multiplicative formulas in Cohomology of G/P and in quiver representations. [pdf ]

 On montre de manière unifiée des formules multiplicatives pour des entiers venant de la théorie des représentations des carquois et de la cohomologie des espaces homogènes. On obtient par exemple que les coefficients de structure du produit de Belkale-Kumar pour G/B avec G=SL ou Sp valent 0 ou 1. L'essentiel de ces résultats ont été obtenu indépendament par E. Richmond.
 Tous les commentaires
sont bienvenus.

Préprints (voir aussi ArXiv)

1. A reduction rule for branching coeficients [pdf ]

  Dans cette note, nous montrons une règle de réduction pour les coefficients de branchements du bord du LR-cône. Ceci généralise des résultats de Brion et Roth. Notre preuve est nouvelle.
 Tous les commentaires
sont bienvenus.

Projets

1. Distribution on homogeneous spaces and Belkale-Kumar's product. [pdf ]

 Dans ce travail, on cherche à comprendre le produit de Belkale-Kumar de manière plus intrinsèque. On y explique par exemple de manière transparente la fonctorialité montré en collaboration avec E. Richmond.
 On formule aussi une conjecture qui pourrait constituer une première étape vers une règle combinatoire pour le produit de Belkale-Kumar. Ce programme est mené à son terme pour quelques espaces homogènes : les grassmaniennes, les variétés de drapeaux complets des groupes de type A, B et C.
  Ce travail est en cours de rédaction.

2. Horn inequalities for nonzero Kronecker coefficients [pdf ]

  Les coefficients de Kronecker (K-coef) sont les multiplicités qui encodent la décomposition du produit tensoriel pour les groupes symétriques. D'après un résultat classique de Murnaghan-Littlewood ces coefficients généralisent strictement les coefficients de Littlewood-Richardson (LR-coef). Les LR-coef non nuls satisfont les inégalités de Horn. Nous montrons ici que les K-coef non nuls satisfont des inégalités qui généralisent celles de Horn.
  Ce travail est en cours de rédaction.

3. Generalisations of the PRV conjecture II. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
 

Autres documents

HDR : Théorie Géométrique des Invariants et Quelques sujets connexes. [ ps pdf ]
Soutenue le 3 décembre 2007
Composition du Jury : Michel Brion, Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin, Paul-Emile Paradan, Christoph Sorger
Au vu des rapports de : Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin

Thèse : Variations de Quotients Géométriques et Applications. [ ps pdf ]
Effectuée sous la direction de Michel Brion, à  l'Université Joseph Fourier (Grenoble I). Soutenue le 16 octobre 2000.

Notes de cours : Reading ``The space of Rational maps on $\PP^1$'' by J.H. Silverman
An Introduction to Geometric Invariant Theory. [ ps pdf ]
Cours de 9h donné aux Ultrametric Dynamical Days
Du 14 janvier au 1 Février 2008
A Santiago du Chili