{VERSION 6 0 "IBM INTEL LINUX" "6.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 1 12 255 0 0 1 0 1 0 
2 1 2 0 0 0 1 }{CSTYLE "Text" -1 200 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 
0 0 0 1 }{CSTYLE "_cstyle11" -1 216 "Courier" 1 12 255 0 0 1 2 1 2 2 
1 2 0 0 0 1 }{CSTYLE "_cstyle13" -1 218 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 
2 2 0 0 0 1 }{CSTYLE "_cstyle15" -1 220 "Courier" 1 12 255 0 0 1 2 1 
2 2 1 2 0 0 0 1 }{CSTYLE "_cstyle16" -1 221 "Courier" 1 12 255 0 0 1 
0 1 0 2 1 2 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 
0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 
2 2 0 0 0 1 }1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "MS Serif" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 2 2 2 0 0 0 1 }1 0 0 
-1 8 4 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Tim
es" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 0 0 0 1 }3 0 0 -1 12 12 2 0 2 0 2 2 -1 1 
}{PSTYLE "_pstyle16" -1 215 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 
2 2 2 2 2 1 0 0 1 }1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "_pstyle19" 
-1 218 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 0 0 1 }1 0 0 0 
0 0 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "_pstyle20" -1 219 1 {CSTYLE "" -1 -1 "T
imes" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 }1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 -1 1 }
{PSTYLE "_pstyle22" -1 221 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 
2 2 2 2 2 0 0 0 1 }1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "_pstyle24" 
-1 223 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 1 }0 0 0 
-1 -1 -1 2 0 2 0 2 2 -1 1 }{PSTYLE "" 3 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "times
" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 3 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 258 1 {CSTYLE "" 
-1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 
0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 260 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 
-1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "utopia" 0 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE 
"" 3 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "
times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 
0 }{PSTYLE "" 3 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 85 "OPA 2005 TP2\nLoi de grou
pe sur une courbe elliptique et \351quation de Fermat en degr\351 3" }
}{PARA 18 "" 0 "" {TEXT 256 19 "El\351ments de corrig\351" }}}{EXCHG 
{PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 8 "restart:" }}}{SECT 1 {PARA 256 "
" 0 "" {TEXT -1 10 "Question 1" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 27 "F:=X^3+Y^3-Z^3;P:=[-1,1,0];" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 216 53 "subs(\{X=-1,Y=1,Z=0\},[diff(F,X),diff(F,Y),diff(F,Z
)]);" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 94 "l'\351quation de la ta
ngente \340 C:F=0 en P est donc X+Y=0. On remplace Y=-X dans l'\351qua
tion de F :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 16 "H:=subs(
Y=-X,F);" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 96 "cela montre que la
 multiplict\351 d'intersection en P est \351gale \340 3 ; donc P est p
oint d'inflexion." }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 413 "On cherc
he maintenant une application lin\351aire u telle que u((-1,1,0))=(0,1
,0) et transformant le plan X+Y=0 en le plan Z=0. Il suffit que u((0,0
,1))=(1,0,0) pour que cette derni\350re condition soit v\351rifi\351e.
 Imposant de plus u((1,0,0))=(0,0,1) (par exemple), u est totalement d
\351termin\351e.  La matrice de l'inverse de u est facile \340 \351cri
re, puisque l'on connait l'image des 3 \351l\351ments constituant la b
ase canonique :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 78 "with
(LinearAlgebra): inverse_u:=<<0,0,1>|<-1,1,0>|<1,0,0>>; u:=inverse_u^(
-1);" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 162 "Bien s\373r, ce r\351
sultat se retrouve \340 la main tr\350s facilement. D'o\371 les formul
es de changement de coordonn\351es, o\371 X1, Y1 et Z1 d\351signent le
s nouvelles coordonn\351es :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 216 43 "phi:=u.<X,Y,Z>; phi1:=inverse_u.<X1,Y1,Z1>;" }}}{EXCHG 
{PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 51 "G:=normal(subs(\{X=phi1[1],Y=ph
i1[2],Z=phi1[3]\},F));" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 
30 "g:=subs(\{X1=x1,Y1=y1,Z1=1\},G);" }}}}{SECT 1 {PARA 257 "" 0 "" 
{TEXT -1 10 "Question 2" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "c
ollect(subs(y1=y2+alpha,g),y2);" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 
218 105 "On prendra donc alpha=1/2 ; on actualise phi qui exprime les \+
nouvelles coordonn\351es en fonction de X,Y,Z :" }}}{EXCHG {PARA 215 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 49 "g:=normal(subs(y1=y1+1/2,g)); phi[2]:=phi[
2]-1/2;" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 261 "Enfin, il faut \"d
ilater les coordonn\351es\" afin d'obtenir une \351quation Y^2-(X^3+aX
+b), i.e. 1 devant Y^2 et -1 devant X^3 : on multiplie par une puissan
ce de 3 convenable afin que le coefficient du monome en y1^2 soit un c
arr\351 et celui du monome en x1^3 un cube :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 216 33 "3^3*subs(\{x1=x2/3,y1=y2/3^2\},g); " }}}
{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 192 "On poursuit pour que a et b so
ient entiers : mutipliant par 4, cela ruine l'effort pr\351c\351dent ;
 on r\351tablit la situation comme tout \340 l'heure, en multipliant p
ar une puissance de 2 convenable :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 216 34 "2^6*subs(\{x2=x3/2^2,y2=y3/2^3\},%);" }}}{EXCHG 
{PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 15 "En d\351finitive :" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "g:=3^3*2^6*subs(\{x1=x1/12,y1=y1/72\},g); p
hi[1]:=12*phi[1]: phi[2]:=phi[2]*72: phi;" }}}}{SECT 1 {PARA 258 "" 0 
"" {TEXT -1 10 "Question 3" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
68 "S:=solve(g,y1); r:=432^(1/3); arc[1]:=plot(\{S\},x1=r..10,color=bl
ue):" }}}{EXCHG {PARA 219 "" 0 "" {TEXT 200 70 "Evidemment, on n'avait
 pas besoin de Maple pour trouver ces r\351sultats." }}}{EXCHG {PARA 
218 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 220 40 "f:=subs(\{X=x,Y=y,Z=1\},F); T:=solve(
f,y);" }}}{EXCHG {PARA 219 "" 0 "" {TEXT 200 132 "Maple applique les f
ormules de Cardan ; seule la solution r\351elle nous int\351resse (et \+
on n'avait pas besoin de Maple pour la trouver)." }}}{EXCHG {PARA 219 
"" 0 "" {TEXT 200 173 "Attention, la fonction x->x^(1/3) de Maple n'es
t pas la fonction racine troisi\350me d\351finie sur les r\351els ; po
ur n impair, surd(x,n) est la racine n-i\350me que vous connaissez :" 
}}}{EXCHG {PARA 219 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 221 66 "plot(x^(1/3),x=-3..3)
; plot(surd(x,3),x=-3..3); evalc((-1)^(1/3));" }}}{EXCHG {PARA 218 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 220 82 "arc[2]:=plot(surd((1-x^3),3),x=-5..10,color=
red): plots[display](\{arc[1],arc[2]\});" }}}{EXCHG {PARA 219 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 221 58 "g1:=subs(\{X1=x1,Y1=1,Z1=z1\},G); f1:=subs(\{X=x,
Y=1,Z=z\},F);" }}}{EXCHG {PARA 219 "" 0 "" {TEXT 200 81 "On visualise \+
sur C1 et E1 les points \340 l'infini P et O, ainsi que les tangentes \+
:" }}}{EXCHG {PARA 219 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 221 148 "arc1[1]:=plot(sur
d(z1^3+3*z1^2+3*z1,3),z1=-5..5,color=blue): arc1[2]:=plot(\{surd(z^3-1
,3),-1\},z=-5..5,color=red): plots[display](\{arc1[1],arc1[2]\});" }
{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 200 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 259 "
" 0 "" {TEXT -1 10 "Question 4" }}{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" {TEXT 200 
283 "Un point (x,y) sur C et sur la droite de pente alpha passant par \+
P(x1,y1) et Q(x2,y2) doit v\351rifier les deux \351quations ; on rempl
ace y par son expression en fonction de x : alors x3 est la troisi\350
me racine du polyn\364me obtenu ; on utilise les relations entre coeff
icients et racines. " }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 220 
102 "f:=y^2-(x^3+a*x+b);beta:=y1-alpha*x1;f1:=subs(y=alpha*x+beta,f);c
ollect(f1,x);x3:=coeff(f1,x,2)-x1-x2;" }}}{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" 
{TEXT 200 112 "Cette formule est valable dans les deux cas (P=Q et P d
iff\351rent de Q) ; la pente alpha vaut dans le second cas :" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "normal(-diff(f,x)/diff(f,y))
;" }}}}{SECT 1 {PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Question 5" }}{EXCHG 
{PARA 221 "" 0 "" {TEXT 200 70 "les proc\351dures suivantes r\351sulte
nt directement des formules trouv\351es :" }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 220 133 "appart:=proc(E,P);\n if P=Origine then RETURN(t
rue);fi;\n if P[2]^2=P[1]^3+E[1]*P[1]+E[2] then RETURN(true) else RETU
RN(false);fi;\nend:" }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 220 154 
"somme1:=proc(E,P,Q) local alpha,x3,y3;\n   alpha:=(Q[2]-P[2])/(Q[1]-P
[1]);\n   x3:=alpha^2-P[1]-Q[1]; \n   y3:=-P[2]+alpha*(P[1]-x3);\n   R
ETURN([x3,y3]);end:" }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 220 150 
"somme2:=proc(E,P) local alpha,x3,y3;\n   alpha:=(3*P[1]^2+E[1])/(2*P[
2]);\n   x3:=alpha^2-2*P[1]; \n   y3:=-P[2]+alpha*(P[1]-x3);\n   RETUR
N([x3,y3]);end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 472 "somme:=
proc(E,P,Q) local alpha, x3,y3;\n if deltaE(E)=0 then error \"ceci n'e
st pas une courbe elliptique\" else\n   if appart(E,P) and appart(E,Q)
 then\n     if P<>Origine and Q<>Origine then\n       if P[1]<>Q[1] th
en RETURN(somme1(E,P,Q))\n     elif P[2]=Q[2] and Q[2]<> 0 then RETURN
(somme2(E,P))\n       else  RETURN(Origine);\n     fi;  \n   elif P=Or
igine then RETURN(Q);\n     else RETURN(P);\n     fi;\n   else error \+
\"les points doivent etre sur la courbe !\";\n   fi;\n fi;\nend:" }}}
{EXCHG }{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 6 "Test :" }}}{EXCHG {PARA 
215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 33 "E:=[-36,0]; P:=[-3,9]; Q:=[-2,8];" }}
}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 41 "somme(E,P,Q); somme(E,P
,P); somme(E,Q,Q);" }}}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 81 "2P=-2Q, \+
ce qui n'a rien d'\351tonnant car P+Q a pour ordonn\351e 0, donc est d
'ordre 2." }}}}{SECT 1 {PARA 261 "" 0 "" {TEXT 257 10 "Question 6" }}
{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" {TEXT 200 259 "Dans cette proc\351dure de sim
pliification, on d\351veloppe tous les termes, puis remplace les yi^2 \+
par leur expression en fonction des xi (noter l'emploi de algsubs plut
\364t que subs) ; enfin, on normalise le r\351sultat (afin de comparer
 les expressions par la suite)." }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 220 290 "simplifier:=proc(expression) local temp,hyp1,hyp2,
hyp3; hyp1:=P[2]^2=P[1]^3+a*P[1]+b;hyp2:=Q[2]^2=Q[1]^3+a*Q[1]+b;hyp3:=
R[2]^2=R[1]^3+a*R[1]+b; temp:=normal(expression,expanded);temp:=algsub
s(hyp1,temp);temp:=algsubs(hyp2,temp);temp:=algsubs(hyp3,temp);temp:=n
ormal(temp);\nRETURN(temp);end:" }}}{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" {TEXT 
200 157 "C'est parti pour les v\351rifications (remplacer les : par ; \+
pour voir les expressions, vous ne serez pas d\351\347u ! Auriez-vous \+
aim\351 faire les calculs \340 la main ?)" }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 220 200 "P:='P': Q:='Q': a:='a': b:='b': PQ:=simplifier(
somme1([a,b],P,Q)):QR:=simplifier(somme1([a,b],Q,R)):PetQR:=simplifier
(somme1([a,b],P,QR)):PQetR:=simplifier(somme1([a,b],PQ,R)):simplifier(
PQetR-PetQR);" }}}{EXCHG {PARA 218 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 220 166 "P2:=s
implifier(somme2([a,b],P)):PQ:=simplifier(somme1([a,b],P,Q)):P2etQ:=si
mplifier(somme1([a,b],P2,Q)):PetPQ:=simplifier(somme1([a,b],P,PQ)):sim
plifier(P2etQ-PetPQ);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "P
2etP:=simplifier(somme1([a,b],P2,P)):PetP2:=simplifier(somme1([a,b],P,
P2)):simplifier(P2etP-PetP2);" }}}}{SECT 1 {PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 
10 "Question 7" }}{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" {TEXT 200 203 "Pour en reve
nir \340 la cubique de Fermat : nous connaissons toutes les solutions \+
en entiers de F=0 (c'est le th\351or\350me de Fermat pour n=3) ; via p
hi, on en d\351duit l'ensemble des points rationnels de E:G=0 :" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "map(t->subs(\{X=0,Y=1,Z=1\}
,t),phi); map(t->subs(\{X=1,Y=0,Z=1\},t),phi); map(t->subs(\{X=1,Y=-1,
Z=0\},t),phi);" }}}}{SECT 1 {PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Question 8
" }}{EXCHG {PARA 221 "" 0 "" {TEXT 200 227 "Comme il y en a trois, le \+
groupe des points rationnels est donc isomorphe \340 Z/3Z ; appelant A
 le premier, on a dans l'ordre A,  -A et O ; on v\351rifie en calculan
t les nA, que A est d'ordre 3 et g\351n\350re bien l'ensemble pr\351c
\351dent :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "A:=[12,36];wh
ile A<>Origine do A:=somme([0,-432],A,[12,36]);od;" }}}}{SECT 1 {PARA 
264 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Question 9" }}{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 
218 22 "Question subsidiaire :" }}}{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 216 109 "E:=[-36,0]; P:=[-3,9]; P1:=P: i:=0: while P1<>Orig
ine and i<10 do P1:=somme(E,P,P1): i:=i+1: print(i,P1): od:" }}}
{EXCHG {PARA 215 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 216 84 "P1:=P: i:=0: while P1<>O
rigine and i<100 do P1:=somme(E,P,P1): i:=i+1: od: print(i);" }}}
{EXCHG {PARA 215 "" 0 "" {TEXT 218 149 "On conjecture que P est d'ordr
e infini, mais on ne sait pas le d\351montrer pour l'instant (voir app
lications du Th\351or\350me de Nagell-Lutz, plus tard ...)" }}}}{PARA 
223 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "6" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 
1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }