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Séminaire de Théorie des
Nombres de
Montpellier
I3M, UMR CNRS 5149
Université
Montpellier
II
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Archives : année
2003-2004
Calendrier
:
- 14 Juin 2004 : «Le lemme
fondamental pour les groupes unitaires (travail en commun avec G.
Laumon)» par Bao
Chau Ngo (CNRS & Université Paris 13)
; Résumé.
- 7 Juin 2004 : «Sur une
realisation geometrique de cas non-semisimples de la conjecture de
Langlands locale» par Jean-François
Dat (CNRS & IHÉS)
; Résumé.
- 3 Mai 2004 : «Equidistribution
de mesures algébriques» par Laurent Clozel (Orsay)
; Résumé.
- 26 Avril 2004 : «Comptage
des
revêtements du tore et formes quasi-modulaires» par Samuel Lelièvre
(Université Montpellier II) ; Résumé.
- 22 Mars 2004 : «Le
théorème
réciproque et la conjecture d'Artin» par Andrew Booker
(Princeton) ; Résumé.
- 15 Mars 2004 : «Sur le
lemme
fondamental pour les groupes unitaires» par Gérard Laumon
(Orsay) ; Résumé.
- 1er Mars 2004 : «Facteurs
epsilons associés aux connexions» par Spencer Bloch (University of
Chicago & IHÉS) ; Résumé.
- 9 Février 2004 : «Représentations
galoisiennes, groupe de Mumford-Tate
et bonne réduction des variétés abéliennes»
par Frédéric
Paugam (Universität Regensburg) ; Résumé.
- 26 Janvier 2004 : «Equidistribution
de sous-variétés spéciales» par Emmanuel Ullmo (Orsay)
; Résumé.
- 27 Novembre 2003 (Séance
exceptionnelle :
jeudi à 11h00 en salle 331) : «Périodes
des formes de
Maass et cohomologie» par Don
Zagier (Max-Planck-Institut für Mathematik,
Bonn & Collège de France).
- 10 Novembre 2003 : «Quelques
conjectures simples "à la Langlands" en l=p» par Christophe Breuil (CNRS &
IHÉS) ; Résumé.
- 27 Octobre 2003 : «Motifs
de
dimension finie et géométrie arithmétique»
par Bruno Kahn (CNRS &
Université Paris 7) ; Résumé.
- 20 Octobre 2003 : « Sur le
calcul du corps de définition d'un point de torsion d'une
jacobienne
d'une courbe de genre quelconque» par Bas Edixhoven (Universiteit
Leiden) ; Résumé.
- 13 Octobre 2003 : «Représentations
lisses de GL(m,D) et théorie des types» par Vincent Secherre
(Orsay) ; Résumé
Résumés
:
- Le lemme fondamental
pour les groupes unitaires
(Bao Chau Ngo) : Nous présentons une démonstration du lemme
fondamental pour les groupes unitaires U(n) sur les corps locaux en
égales caractéristiques p>n.
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- Sur une
réalisation
géométrique de cas non-semisimples de la conjecture de
Langlands locale
(Jean-François Dat) : Les travaux de Harris, Boyer,
Harris-Taylor et Hausberger ont concrétisé les
conjectures de Carayol-Deligne-Drinfeld selon lesquelles la cohomologie
étale l-adique de certains espaces de modules de groupes formels
permet de réaliser simultanément les correspondances
locales de Langlands et Jacquet-Langlands pour les
représentations supercuspidales de GL_n sur un corps local
non-archimedien. Mais le calcul récent par Boyer des groupes de
cohomologie individuels de certains de ces espaces montre que ceux-ci
ne réalisent plus la correspondance de Langlands pour les
représentations non supercuspidales.
Dans cet expose, on tentera d'expliquer comment on peut tout de
même récuperer une realisation de la correspondance pour
une classe plus larges de représentations, appelées
elliptiques, en considerant le complexe de cohomologie et en utilisant
le formalisme des catégories dérivées.
On discutera en particulier l'exemple le plus simple du demi-plan de
Drinfeld.
Retour
- Equidistribution
de mesures algébriques (Laurent Clozel) :
Si T = R^n/Z^n est un tore compact,
une suite de sous-groupes H du groupe additif G_a^n /Q définit
de façon
naturelle une suite de mesures sur T qui converge vers
la mesure invariante si la suite des H est stricte - un fait
déjà
connu, essentiellement, de Kronecker.
Ullmo et moi avons étudié le même
phénomène pour G /Q (affine)
arbitraire. Sans résoudre le problème en
général, nous avons obtenu
des résultats dans de nombreux cas. Parfois la conjecture
"classique"
naturelle est fausse et doit être remplacée par une
variante adélique.
Pour
G= PGL(2) je montrerai que cette nouvelle conjecture est vraie dans une
assez grande généralité :
c'est un résultat de théorie analytique des nombres,
utilisant de façon
cruciale un théorème de Waldspurger.
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- Comptage
des revêtements du tore et formes quasi-modulaires (Samuel
Lelièvre)
:
Le comptage par degré des revêtements du tore de type de
ramification fixé a pour fonction génératrice une
forme
quasi-modulaire. Ces revêtements sont par ailleurs des points
d'espaces
sur
lesquels agit SL(2,R). On aimerait compter par orbites...
Retour
- Le
théorème
réciproque et la conjecture d'Artin (Andrew Booker) :
J'expliquerai des progrés récents sur le
théorème reciproque sur
GL(2) qui permet de réduire le nombre de twists dans certains
cas.
Notamment cela donne une forte équivalence entre la conjecture
d'Artin
sur les représentations galoisiennes complexes de dimension 2,
et celle
de Langlands.
Retour
- Sur le
lemme fondamental pour les groupes unitaires (Gérard Laumon)
:
...
Retour
- Facteurs
epsilons associés aux connexions (Spencer Bloch) :
l'analogie entre sommes de Gauss et fonctions Gamma suggère un
analogue
à la théorie classique des constantes
locales.
Retour
- Représentations
galoisiennes, groupe de Mumford-Tate
et bonne réduction des variétés abéliennes
(Frédéric Paugam) :
On s'intéresse à la conjecture suivante de Morita :
soit A une variété abélienne sur un corps de
nombres K.
Si le groupe de Mumford-Tate de A ne contient pas d'unipotent sur Q,
alors A a potentiellement bonne réduction en toute place finie
de K. Cette conjecture donne un lien entre des données
analytiques
(groupe de Mumford-Tate) et des données arithmétiques
(bonne
réduction).
On expliquera de manière simple l'intuition
géométrique sous-jacente
à cette conjecture et les travaux déjà connus
(Morita, Noot) puis on
expliquera nos résultats, leur démonstration, leurs
limites ainsi
qu'une méthode pour les contourner.
Retour
- Equidistribution
de sous-variétés spéciales (Emmanuel Ullmo)
:
Nous expliquons des propriétés d'équidistribution
de suites de sous-variétés spéciales de
variétés de Shimura
et nous donnons des applications à la conjecture
d'André-Oort.
C'est un travail en commun avec L. Clozel. La preuve repose
sur des techniques de géométrie ergodique (theorie de
Ratner)
dont nous rappelerons les grandes lignes.
Retour
- Quelques
conjectures simples "à la Langlands" en l=p (Christophe Breuil)
: On décrira un certain nombre de "phénomènes" ou
"signes" qui
suggèrent l'existence d'une correspondance de Langlands p-adique
continue non triviale. Il s'agit plus précisément de
liens, qui ont
pour l'instant l'air assez "miraculeux", entre des
représentations
p-adiques de GL(2,Q_p) et la théoorie de Fontaine (en dimension
2) pour
Gal(\overline{Q_p}/Q_p). Le cadre général, même
conjectural, d'une
telle correspondance reste à découvrir.
Retour
- Motifs de
dimension finie et géométrie arithmétique (Bruno
Kahn) :
J'expliquerai comment la notion de motif de dimension finie (Kimura,
O'Sullivan) permet de montrer que, si A est une variété
abélienne sur
un
corps fini qui vérifie la conjecture de Tate, alors A
vérifie aussi la
conjecture de Beilinson (équivalence rationnelle =
équivalence
numérique).
J'en donnerai aussi quelques conséquences arithmétiques.
Retour
- Sur le
calcul du corps de définition d'un point de torsion d'une
jacobienne
d'une courbe de genre quelconque (Bas Edixhoven) : En
commençant par un calcul explicite sur une courbe elliptique,
j'expliquerai ma stratégie pour calculer le corps de
définition d'un
point de torsion d'une jacobienne d'une courbe de genre quelconque. En
gros, cette stratégie consiste a calculer le polynôme
minimale d'une
coordonnée d'un tel point par une approximation (complexe ou
p-adique)
avec une précision suffisante. J'expliquerai comment la
théorie
d'Arakelov doit fournir une borne raisonnable pour la précision
requise. Comme application j'espère obtenir un algorithme pour
calculer
tau(p), avec tau la fonction de Ramanijan et avec p premier, en temps
polynomial en le logarithme de p. Je dirai aussi ce qui reste à
faire.
Retour
- Représentations
lisses de GL(m,D) et théorie des types (Vincent Sécherre)
:
Dans le cadre des correspondances de Langlands locales,
c'est-à-dire
relativement à un corps de base F localement compact et non
archimédien, les objets analogues aux représentations
complexes
continues de dimension finie n du groupe de Galois de F sont les
représentations complexes lisses du groupe linéaire
GL(n,F). Pour
certaines raisons, on s'intéresse à des groupes un peu
plus généraux,
de la forme GL(m,D), où m est un entier >0 et où D est
un corps
gauche de centre F et de dimension finie sur F. Si G est un tel groupe,
on cherche à obtenir une description explicite de la
catégorie des
représentations complexes lisses de G, comme cela a
été fait, en 1999,
par Bushnell et Kutzko dans le cas où D=F. J'essaierai
d'expliquer
comment la théorie des types propose de resoudre un tel
problème.
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Page mise à
jour le 27.05.2004
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