Eléments de recherche

L'énoncé du problème est volontairement vague. Que signifie "en position générale" ? Qu'est-ce qu'une région ?

La position générale. Intuitivement, cela signifie que l'on n'est pas dans un cas particulier. Mais qu'est-ce qu'un cas particulier ? Il peut être plus facile de comprendre l'expression "position générale" au sujet d'une famille de droites dans le plan. L'idée est que les propriétés auxquelles on s'intéresse, ici le nombre de régions découpées, devraient être invariantes par les petites perturbations de la famille. Naturellement, les élèves sont encouragés à se demander ce qui se passe lorsque les plans ne sont pas en position générale.

La notion de région. Elle a un contenu intuitif plus clair avec lequel les élèves peuvent immédiatement commencer à travailler. Mais il arrivera un moment où certaines propriétés cruciales des régions se manifesteront de manière plus ou moins subtile (la convexité, par exemple). Pour aller au-delà de l'évidence visuelle ("on voit bien que c'est ainsi") il faudra alors revenir sur la définition même de ce qu'est une région. Remarquons aussi que certains font la différence entre les régions finies (bornées) et infinies (non bornées) ; on peut les encourager à faire cette distinction... et à chercher à compter les deux familles de régions.

Les dessins. Ils peuvent être d'une grande utilité pour commencer et prendre contact avec le problème, mais leur complexité grandissante révélera les limites de cette approche. Même avec 3 plans certains élèves ont des difficultés à trouver le nombre de régions.

Un problème analogue. Suivant Polya, on peut proposer aux élèves de chercher un problème analogue, plus facile. Le cas des droites dans le plan est souvent proposé. Si l'on attire l'attention sur la notion intuitive de dimension, on peut même amener les élèves au problème encore plus élémentaire des points sur une droite. La notion de position générale pourra être analysée dans ces trois situations ; on observe que le nombre de conditions pour assurer que la famille est en position générale augmente avec la dimension.

Compter le nombre de régions délimitées par des droites du plan ne présente pas de difficulté pour un petit nombre de droites, et une relation de récurrence simple entre le nombre de régions et le nombre de droites est rapidement observée par les élèves. Suivant Polya, on peut dresser un tableau à 3 colonnes représentant les nombres de régions suivant le nombre de points sur une droite (1ère colonne), le nombre de droites dans un plan (2ème colonne) et le nombre de plans dans l'espace (3ème colonne). La règle de formation des nombres de régions est alors assez évidente, et le nombre de régions pour 5 plans, à savoir 26, est facilement conjecturé.

Démonstration. L'intérêt d'avoir étudié un problème analogue est que, outre de proposer une conjecture, un schéma de démonstration par récurrence se révèle. Les idées sont assez faciles à comprendre dans le cas de droites dans le plan ; il reste (éventuellement) à les transcrire dans le cas des plans dans l'espace.