Eléments de recherche

Il est difficile de décrire des règles de jeu en éliminant toute ambiguïté. Par exemple, l'énoncé ne précise pas si le domino joué (en dehors du premier) doit obligatoirement toucher un domino déjà posé, comme dans le jeu usuel des dominos. On peut supposer que si cela n'est pas précisé dans la règle, c'est que cette contrainte n'est pas exigée. Cela étant dit, il est possible d'étudier des variantes du jeu. Le fait de ne pas préciser davantage permet l'appropriation de l'énoncé par les élèves, qui ont par conséquent des choix à faire.

Le premier contact avec le problème consistera probablement en une expérimentation du jeu, avec résolution des ambiguïtés afin que tous cherchent sur le même problème, ou du moins sur un nombre restreint de problèmes. Quelques variantes sont intéressantes (voir plus bas).

La question elle-même est délibérément vague. L'idée de stratégie gagnante peut être longue à se mettre en place, certains élèves invoquant d'abord la psychologie des joueurs : "il faut que les joueurs aient envie de gagner", "il faut qu'ils aient autant envie de gagner l'un que l'autre", "il faut qu'ils soient de même intelligence", etc... Ces observations sont certainement pertinentes, mais difficiles à analyser du point de vue des mathématiques élémentaires. L'objectif est de dégager l'idée de stratégie gagnante : un des joueurs a la possibilité de gagner quels que soient les coups de son adversaire. Là encore une difficulté surgit : la confusion entre "avoir une stratégie gagnante" et "gagner dans toutes les parties possibles" (voir les Eléments de Solution ). D'ailleurs l'identité entre les deux notions n'arrive qu'exceptionnellement, sur des plateaux très petits.

La difficulté est ensuite de dégager des idées générales permettant de mieux comprendre pourquoi un des deux joueurs possède une stratégie gagnante. Les élèves sont tentés de maintenir leur analyse à des considérations du genre "s'il joue ici alors je réponds là", qui ne s'appliqueront pas souvent aux variantes, par exemple à des plateaux de tailles différentes.

L'analyse du jeu sur des plateaux de taille petite amène les élèves à la conjecture suivante : si n est pair c'est le joueur en second qui gagne, si n est impair c'est le joueur en premier qui gagne. Cette conjecture est effectivement correcte (voir les Eléments de Solution ).

Variantes.

• Le jeu "qui perd gagne" (en anglais : "misere"). Les règles sont les mêmes, mais cette fois c'est le joueur qui ne peut plus jouer qui gagne.
  

• Des plateaux de tailles différentes peuvent être étudiés.
  

• On peut imposer à l'un des joueurs de placer ses dominos horizontalement et à l'autre de les mettre verticalement.