Pré requis |
Détermination des bornes d'un intervalle de centre et d'amplitude donnés.
Détermination de l'équation d'une droite définie par deux points dont on connaît les coordonnées.
Utilisation d'une calculatrice graphique pour afficher la courbe représentative d'une fonction ; connaissance du fonctionnement d'une calculatrice graphique (pixels, fenêtre graphique, fonction trace, ...).
Programmation d'une calculatrice pour calculer les valeurs d'une fonction en différents points.
Calcul de limites finies de fonction en un point.
Droites perpendiculaires et équations ; équation d'un cercle.
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Place de l'activité |
Cette activité se situe après un rappel et quelques approfondissements sur les généralités concernant les fonctions numériques, la définition de
 (a
  et l
) et les opérations sur ces limites, en particulier
 quand
 et
 .
A noter que l'équation générale d'une droite n'a pas été encore étudiée et les élèves ne connaissent que l'équation réduite d'une droite.
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Objectif d'apprentissage |
L'objectif de cette activité est d'introduire la notion de nombre dérivé d'une fonction en un point à la fois comme coefficient directeur d'une position limite des cordes et comme coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative en ce point.
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Analyse du point de vue des cadres et des registres |
Cette introduction de la notion de nombre dérivé se fait par des changements de cadres et de
registres  successifs :
- d'abord une étude qualitative dans le cadre de la géométrie analytique, le registre graphique du travail demandé (modifier la fenêtre graphique de la calculatrice et observer le résultat) permettant aux élèves d'avoir une vision "concrète" du problème (au voisinage d'un point, la courbe est "presque" une droite), ce qui conduit à donner une représentation mentale et visuelle de la notion de tangente.
- puis, toujours dans le cadre de la géométrie analytique, l'intervention du registre symbolique par l'utilisation des formules concernant l'équation d'une droite (y=ax+b) et son coefficient directeur
 et du registre numérique par le calcul des coordonnées des points. A noter que le passage du registre graphique au registre numérique est facilité par l'utilisation de la calculatrice (utilisation de la fonction trace de la calculatrice pour déterminer les coordonnées de points du segment de droite qui semble apparaître dans la fenêtre graphique) mais peut être aussi source d'erreurs (problèmes d'arrondis).
- ensuite dans le cadre de l'analyse dans
, le passage du registre numérique avec le calcul de
 pour différentes valeurs de h, au registre symbolique en montrant que
 .
- enfin par un retour au cadre de la géométrie analytique (registres graphique et symbolique), l'interprétation de la limite comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe en déterminant l'équation de la tangente en un point à un cercle.
C'est ce va-et-vient entre les différents cadres et les différents registres qui doit permettre de donner sens à la notion de nombre dérivé.
Il serait bon de donner les raisons du choix de la fonction et des activités en les reliant à ces changements de cadres et de registres, et d'indiquer aussi ce que l'on attend comme formulation des conjectures.
On pourrait aussi faire apparaître la progression et l'enchaînement des activités dont on voit bien d'ailleurs la pertinence des choix des énoncés mathématiques.
On voit que la pertinence du choix de la fonction est dans la possibilité de justifier le cas de la tangente par le dernier problème en relation avec les connaissances antérieures des élèves.
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