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Médiathèque
- Fiche élève - Nombre dérivé et calculatrice
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Première partie
On considère la fonction
, sa courbe représentative
Cf dans un repère orthogonal et
A le point de cette courbe d'abscisse 1.
L'objectif de cet exercice est d'observer, sur la calculatrice, la courbe Cf dans une fenêtre graphique centrée en A.
Définir d'abord une fenêtre graphique de largeur 3 ; puis prendre des fenêtres de plus en plus étroites (largeurs 2 ; 1 ; 0,6 ; 0,2 ; 0,1 ; ...). Attention, pour chaque fenêtre graphique, fixer la hauteur de façon à ce que le repère utilisé soit proche d'un repère orthonormal.
Ecrire les constatations repérées.
Deuxième partie
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'équation de la droite qui semble apparaître sur la calculatrice :Fenêtre graphique Equation de la droite x 
[0,7 ; 1,3]
x [0,9 ; 1,1]
x [0,95 ; 1,05]
x [0,99 ; 1,01]
x [0,995 ; 1,005]
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Que constater dans l'évolution de l'équation de la droite lorsqu'on considère des intervalles de plus en plus petits et centrés en 1 ?
Troisième partie
Considérer un point M de la courbe Cf proche de A. Pour cela, choisir son abscisse égale à 1+ h ( h
, -1
h 1), et prendre
h de plus en plus petit.
a) Déterminer en fonction de h le coefficient directeur de la droite ( AM) (compléter le tableau suivant) :h xM yM Coefficient directeur de ( ) h xM yM Coefficient directeur de ( AM) - 1 1 - 0,5 0,5 - 0,2 0,2 - 0,1 0,1 - 0,05 0,05 - 0,01 0,01 - 0,005 0,005 - 0,001 0,001
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Conjecturer sur l'évolution du coefficient directeur de ( AM) et de la droite ( AM) lorsque h tend vers 0 c'est à dire lorsque le point M tend vers le point A en restant sur la courbe.
b) Déterminer la valeur de la limite du coefficient directeur de la droite ( AM) quand h tend vers 0. Trouver l'équation de la droite passant par A ayant pour coefficient directeur cette valeur limite.
Quatrième partie
Soit le cercle de centre O et de rayon [ OA]. Trouver la longueur du rayon du cercle. En déduire l'équation du cercle.
En ne considérant que le demi-cercle situé dans le demi-plan y
0, exprimer l'ordonnée
y des points de ce demi-cercle en fonction de leur abscisse
x. Faire des remarques.
Déterminer le coefficient directeur de la droite ( OA) et en déduire l'équation de la tangente au demi-cercle en A.
